期望很薄弱, 看见期望就害怕.

Description

一个长为$n$的白色序列, 每次随机一个区间染黑, 求全黑的期望步数.

Solution

首先转化一下, 我们设$P_t$为第$t$次染色后仍然不是全黑的概率, 那么有$E = \sum_{i=0}^{\infty}{P_i}$.

$P$如何求: 我们首先暴力地考虑一个特定的情形: 假如有$i$个白球, 其中有$I$个区间保证不会染到这些球.

那么这一轮不染到白球的概率就是: $p=\frac{I}{n \choose 2}$. $t$轮都染不到就乘$t$次方. 等比数列求和一下, 这种情况的无限和为$\frac{1}{1-p}.$

我们不妨做容斥来计算总的期望, 枚举不被染到的白球, 如果有奇数个则加入期望, 否则从期望中减去.

枚举到底是哪些的复杂度太高了. 一个常见套路是: DP出方案数乘上概率来得到期望.

我们设计这样一个状态: $f[i][j][0/1]$为前$i$个球已确定, 且第$i$个是白球, 有$j$个合法区间, 白球奇偶性为$0/1$的方案数.

转移就是枚举下一个白球, 累加一下.

然后对于每个长度计算期望, 状态中已有的区间数加上最后一段的区间数是所有的合法区间数, 可以算出概率, 概率乘上方案数即可累加进期望, 注意正负.

精度并不能通过原题, 不过对拍是可以过的.

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ldb;

const int maxn = 55;

int n, T;
ll dp[maxn][2][maxn * maxn];
ldb E[maxn];

int main() {
  scanf("%d", &T);
  dp[0][0][0] = 1;
  for (int i = 0; i <= 50; ++i) 
    for (int j = 0; j <= (i + 1) * i / 2; ++j) {
      for (int k = i + 1; k <= 50; ++k) {
        if (dp[i][0][j]) {
          dp[k][1][j + (k - i - 1) * (k - i) / 2] += dp[i][0][j];
        }
        if (dp[i][1][j]) {
          dp[k][0][j + (k - i - 1) * (k - i) / 2] += dp[i][1][j];
        }
      }
    }
  for (int i = 1; i <= 50; ++i)
    for (int k = 0; k <= i; ++k)
      for (int j = 0; j <= (k + 1) * k / 2; ++j) {
        int A = j + (i - k + 1) * (i - k) / 2;
        ldb p = 1.0 * A / (i * (i + 1) * 0.5);
        if (p == 1.0) continue;
        if (dp[k][0][j]) {
          E[i] -= dp[k][0][j] / (1 - p);
        }
        if (dp[k][1][j]) {
          E[i] += dp[k][1][j] / (1 - p);
        }
      }
  for (int i = 1; i <= 50; ++i)
    printf("%.10Lf\n", E[i]);
  return 0;
}